第2問

方程式は $2b-c=2^m$、$2c-b=2^n$、$bc-2=2^p$ である。$n\ge1$ なので第二式から $b$ は偶数である。$p=1$ なら $bc=4$ であり、$2\le b\le c$ から $(b,c)=(2,2)$ となる。$p>1$ とする。$bc=2^p+2\equiv2\pmod4$ で $b$ は偶数なので、$b\equiv2\pmod4$、$c$ は奇数である。したがって $2b-c$ は奇数で、$m=0$、$2b-c=1$、すなわち $c=2b-1$ である。これを $2c-b=2^n$ に代入して $3b=2^n+2$、従って $3c=2^{n+1}+1$ を得る。また $bc-2=2^p$ は $(2^{n-1}+1)(2^{n+1}+1)=9(2^{p-1}+1)$ となる。ここで $p\ge n$ なので、この恒等式を $2^{n-1}$ を法として見ると $1\equiv9\pmod{2^{n-1}}$、従って $n\le4$ である。$3b=2^n+2$ において $n=1$ は不可能であり、$n=3$ も $b=(2^n+2)/3$ が整数でないため不可能である。よって $n=2$ または $4$ で、$(b,c)=(2,3)$ または $(6,11)$ となる。