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第2問

正の整数の三つ組 (a,b,c)(a,b,c) であって、ab−cab-c、bc−abc-a、ca−bca-b の三つの数がいずれも 22 のべき（22 のべきとは 2n2^n（nn は非負整数）の形の整数のこと）となるものをすべて求めよ。
ステップ 4/8: 残りの場合の評価と偶奇
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

中央のべき 2n2^n が cc を評価し、二つの大きい式が a,b,ca,b,c の偶奇を制限する。

3≤a<b≤c⟹c≤2n−1,a+b<2n,0<b−a<2n−13\le a<b\le c\quad\Longrightarrow\quad c\le2^{n-1},\quad a+b<2^n,\quad 0<b-a<2^{n-1}
詳しい解説

3≤a<b≤c3\le a<b\le c と仮定する。2n=ac−b≥(a−1)c2^n=ac-b\ge(a-1)c なので c≤2n/(a−1)≤2n−1c\le2^n/(a-1)\le2^{n-1}。また a+b<2ca+b<2c だから a+b<2c≤2n+1/(a−1)≤2na+b<2c\le2^{n+1}/(a-1)\le2^n、さらに 0<b−a<c≤2n−10<b-a<c\le2^{n-1} である。ここでは n≥3n\ge3 なので 2n2^n と 2p2^p は偶数である。ac−b=2nac-b=2^n と bc−a=2pbc-a=2^p から、a が奇数なら a,b,c もともに奇数であり、a が偶数なら b は偶数である。よって a,b は同じ偶奇で、b−ab-a は偶数である。二式を加減すると (c−1)(a+b)=2n+2p(c-1)(a+b)=2^n+2^p および (c+1)(b−a)=2p−2n(c+1)(b-a)=2^p-2^n となる。b>ab>a なので後者から p>np>n が従う。