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第2問

正の整数の三つ組 (a,b,c)(a,b,c) であって、ab−cab-c、bc−abc-a、ca−bca-b の三つの数がいずれも 22 のべき（22 のべきとは 2n2^n（nn は非負整数）の形の整数のこと）となるものをすべて求めよ。
ステップ 5/8: 決定的な 22 進評価による排除
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

差の式に現れる 22 の正確なべき指数が大きい倍数をすべて排除し、和 a+ba+b をちょうど 2n−12^{n-1} にする。

4∣(c+1),v2(c−1)=1,a+b=2n−14\mid(c+1),\qquad v_2(c-1)=1,\qquad a+b=2^{n-1}
詳しい解説

(c+1)(b−a)=2p−2n=2n(2p−n−1)(c+1)(b-a)=2^p-2^n=2^n(2^{p-n}-1) の右辺の 22 進付値は正確に nn である。cc が偶数なら c+1c+1 は奇数なので 2n∣(b−a)2^n\mid(b-a) となり、0<b−a<2n−10<b-a<2^{n-1} に矛盾する。従って cc は奇数である。c≡1(mod4)c\equiv1\pmod4 なら v2(c+1)=1v_2(c+1)=1 であり、正確な付値 nn から 2n−1∣(b−a)2^{n-1}\mid(b-a) が従うが、やはり b−a<2n−1b-a<2^{n-1} に矛盾する。よって c≡3(mod4)c\equiv3\pmod4、したがって 4∣(c+1)4\mid(c+1) かつ v2(c−1)=1v_2(c-1)=1 である。ここで (c−1)(a+b)=2n+2p=2n(1+2p−n)(c-1)(a+b)=2^n+2^p=2^n(1+2^{p-n}) の付値は正確に nn だから、v2(a+b)=n−1v_2(a+b)=n-1 となる。a+b<2na+b<2^n なので、正整数 a+ba+b は 2n−12^{n-1} に等しくなければならない。最後に a≥5a\ge5 なら a+b<2n+1/(a−1)≤2n−1a+b<2^{n+1}/(a-1)\le2^{n-1} であり、a+b<2ca+b<2c による厳密不等号と a+b=2n−1a+b=2^{n-1} が矛盾する。ゆえに a≤4a\le4 であり、a≥3a\ge3 と合わせて a=3,4a=3,4 だけが残る。