第2問

正の整数の三つ組

(a,b,c)

であって、

ab-c

、

bc-a

、

ca-b

の三つの数がいずれも

2

のべき（

2

のべきとは

2^n

（

n

は非負整数）の形の整数のこと）となるものをすべて求めよ。

ステップ 8/8: 解をまとめて検算する

前のステップ次のステップ

ざっくり言うと

$a=2$ と $3\le a<b\le c$ の二場合で並べ替えた可能性を尽くし、対称性で全置換を戻す。

(a,b,c)\in\{(2,2,2),(2,2,3),(2,6,11),(3,5,7)\}\ \text{up to permutation}

詳しい解説

最初の段階で $a=1$ と $a=b\ge3$ を排除した。したがって順序付けられた解は $(2,2,2)$ 、 $(2,2,3)$ 、 $(2,6,11)$ 、 $(3,5,7)$ のちょうど四つである。直接代入すると、三つの値はそれぞれ $(2,2,2)$ 、 $(1,4,4)$ 、 $(1,16,64)$ 、 $(8,16,32)$ となり、すべて $2$ のべきである。最初の段階の対称性により、これらとその置換が完全な答えである。