MathLabs

第3問

ABCABC を AB>ACAB>AC を満たす鋭角三角形とする。Γ\Gamma をその外接円、HH をその垂心、FF を AA から下ろした高さの足とする。MM を BCBC の中点とする。QQ を Γ\Gamma 上の点で ∠HQA=90∘\angle HQA=90^\circ を満たすものとし、KK を Γ\Gamma 上の点で ∠HKQ=90∘\angle HKQ=90^\circ を満たすものとする。点 AA、BB、CC、KK、QQ はすべて相異なり、この順序で Γ\Gamma 上にあるとする。三角形 KQHKQH と三角形 FKMFKM の外接円が互いに接することを証明せよ。
ステップ 2/4: 主張：LM∥AQLM\parallel AQ
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

二つの線分はともに同じ直線 HQMHQM に垂直なので、互いに平行である。

LM∥AQLM\parallel AQ
詳しい解説

構成より ∠HML=90∘\angle HML=90^\circ なので LM⊥HMLM\perp HM である。また ∠HQA=90∘\angle HQA=90^\circ より AQ⊥HQAQ\perp HQ である。点 HH、QQ、MM は、直線 HQHQ と直線 HMHM が実際には点 HH と点 QQ を通って点 MM まで延長された同じ直線 HQMHQM となるように配置されている（この配置では点 QQ と点 MM はともに、対応する弦に関して点 HH を通る垂線上にある）ので、LMLM と AQAQ はともにこの一つの直線に垂直であり、LM∥AQLM\parallel AQ となる。