第3問

$N$、$T$ をそれぞれ $HQ$、$AH$ の中点とし、$O$ を $ABC$ の外心とする。$T$ は $AH$ の中点、$M$ は $BC$ の中点であるから、$MT$ は九点円の直径である（九点円の古典的な直径）。したがって四辺形 $LTNM$ は長方形であり、直線 $LT$ は元の外接円の中心 $O$ を通る。$LT\perp AQ$（先ほどの垂直方向と $LT\parallel$ であるため）かつ $OA=OQ$（いずれも外接円の半径）なので、$O$ は $AQ$ の垂直二等分線上にある。また $L,T,O$ は一直線上にあり $LT\perp AQ$ なので、$L$ もその垂直二等分線上にある。よって $LA=LQ$ である。