第3問
を を満たす鋭角三角形とする。 をその外接円、 をその垂心、 を から下ろした高さの足とする。 を の中点とする。 を 上の点で を満たすものとし、 を 上の点で を満たすものとする。点 、、、、 はすべて相異なり、この順序で 上にあるとする。三角形 と三角形 の外接円が互いに接することを証明せよ。
ざっくり言うと
等しい半径によって直径方向に対応する点での接線に平行な弦は、まさに接弦定理の角度条件を満たす。
詳しい解説
なので三角形 は二等辺である。したがって、その外接円 の接線は、弦 となす角が、反対側で が となす角と等しい（接弦定理によりその角は反対側の弧に対する内接角 であり、二等辺三角形では に等しい）。 と合わせると、直線 自身が における の接線であることが従う。反転 を戻すと、 における円 への直線 の接触（ は の反像）が、円 （中心 を通る直線 の反像）と円 （ の反像）が共通点 で接することに移され、これで示された。