MathLabs

第4問

三角形 ABCABC の外接円を Ω\Omega、外心を OO とする。中心 AA の円 Γ\Gamma は線分 BCBC と2点 DD, EE で交わり、BB, DD, EE, CC はすべて異なり、この順に直線 BCBC 上に並んでいるとする。FF, GG を Γ\Gamma と Ω\Omega の交点とし、AA, FF, BB, CC, GG がこの順に Ω\Omega 上に並んでいるとする。KK を三角形 BDFBDF の外接円と線分 ABAB の2つ目の交点とし、LL を三角形 CGECGE の外接円と線分 ACAC の2つ目の交点とする。直線 FKFK と GLGL が異なり、点 XX で交わるとする。XX が直線 AOAO 上にあることを証明せよ。
ステップ 1/5: 二等辺三角形に関する命題への帰着
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

直線 AOAO はまさに Ω\Omega の弦 FGFG の垂直二等分線である。

AO⊥FG ⇒ (X∈AO  ⟺  XF=XG)AO\perp FG \ \Rightarrow\ (X\in AO \iff XF=XG)
詳しい解説

F,G∈ΩF,G\in\Omega かつ AF=AGAF=AG である（どちらも中心 AA の円 Γ\Gamma の半径であるため）から、AA は弦 FGFG の垂直二等分線上にあり、OO も（Ω\Omega の外心として）同様である。したがって直線 AOAO はまさに FGFG の垂直二等分線であり、点 XX が AOAO 上にあることと XF=XGXF=XG であることは同値である。あとは XF=XGXF=XG、すなわち X=FK∩GLX=FK\cap GL に対して ∠KFG=∠LGF\angle KFG=\angle LGF を示せばよい。