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第4問

三角形 ABCABC の外接円を Ω\Omega、外心を OO とする。中心 AA の円 Γ\Gamma は線分 BCBC と2点 DD, EE で交わり、BB, DD, EE, CC はすべて異なり、この順に直線 BCBC 上に並んでいるとする。FF, GG を Γ\Gamma と Ω\Omega の交点とし、AA, FF, BB, CC, GG がこの順に Ω\Omega 上に並んでいるとする。KK を三角形 BDFBDF の外接円と線分 ABAB の2つ目の交点とし、LL を三角形 CGECGE の外接円と線分 ACAC の2つ目の交点とする。直線 FKFK と GLGL が異なり、点 XX で交わるとする。XX が直線 AOAO 上にあることを証明せよ。
ステップ 3/5: 有向角の追跡から得られる4つの平行関係
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

直線対 (FG,BC)(FG,BC) を通じた内接角の「反平行」性質を繰り返し用いることで、4組の独立な平行関係が得られる。

FD∥G2C,F2B∥GE,FB∥G2E,F2D∥GCFD\parallel G_2C,\quad F_2B\parallel GE,\quad FB\parallel G_2E,\quad F_2D\parallel GC
詳しい解説

円に内接する四角形 FBDF2⊂(BDF)FBDF_2\subset(BDF) と G2ECG⊂(CGE)G_2ECG\subset(CGE)、および B,D,E,CB,D,E,C が直線 BCBC 上に共線であることを用いて、180∘180^\circ を法とする有向角で考えると: ∠(FD,FG)=∠(BC,GE)=∠(G2C,FG)\angle(FD,FG)=\angle(BC,GE)=\angle(G_2C,FG) より FD∥G2CFD\parallel G_2C; ∠(F2B,FG)=∠(BC,FD)=∠(GE,FG)\angle(F_2B,FG)=\angle(BC,FD)=\angle(GE,FG) より F2B∥GEF_2B\parallel GE; ∠(FB,FG)=∠(BC,GC)=∠(G2E,FG)\angle(FB,FG)=\angle(BC,GC)=\angle(G_2E,FG) より FB∥G2EFB\parallel G_2E; そして ∠(F2D,FG)=∠(BC,FB)=∠(GC,FG)\angle(F_2D,FG)=\angle(BC,FB)=\angle(GC,FG) より F2D∥GCF_2D\parallel GC が得られる。