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第4問

三角形 ABCABC の外接円を Ω\Omega、外心を OO とする。中心 AA の円 Γ\Gamma は線分 BCBC と2点 DD, EE で交わり、BB, DD, EE, CC はすべて異なり、この順に直線 BCBC 上に並んでいるとする。FF, GG を Γ\Gamma と Ω\Omega の交点とし、AA, FF, BB, CC, GG がこの順に Ω\Omega 上に並んでいるとする。KK を三角形 BDFBDF の外接円と線分 ABAB の2つ目の交点とし、LL を三角形 CGECGE の外接円と線分 ACAC の2つ目の交点とする。直線 FKFK と GLGL が異なり、点 XX で交わるとする。XX が直線 AOAO 上にあることを証明せよ。
ステップ 5/5: 角度追跡を完了する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

ホモテティは、二等辺三角形 AFGAFG の等しい底角 ∠ABF=∠GCA\angle ABF=\angle GCA を経由することで、FF における角を GG における対応する角へと変換する。

∠GFK=∠LGF\angle GFK=\angle LGF
詳しい解説

ホモテティと円に内接する四角形を通じて有向角を追跡すると: ∠GFK=∠F2BK=∠F2BF−∠ABF=∠F2DF−∠ABF=∠F2DF−∠GCA=∠GCG2−∠GCA=∠LCG2=∠LGF\angle GFK=\angle F_2BK=\angle F_2BF-\angle ABF=\angle F_2DF-\angle ABF=\angle F_2DF-\angle GCA=\angle GCG_2-\angle GCA=\angle LCG_2=\angle LGF が得られる。ここで ∠ABF=∠GCA\angle ABF=\angle GCA となるのは、AF=AGAF=AG により △AFG\triangle AFG が二等辺三角形となり、底角に関連する2つの内接角 ∠ABF\angle ABF（AFAF に対する）と ∠GCA\angle GCA（AGAG に対する）が等しいからである。これにより ∠GFK=∠LGF\angle GFK=\angle LGF、すなわち ∠KFG=∠LGF\angle KFG=\angle LGF が得られ、ステップ1により XF=XGXF=XG が示され、したがって XX は直線 AOAO 上にある。