第5問

\mathbb{R}

を実数全体の集合とする。すべての実数

x

y

に対して方程式

f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)

を満たすすべての関数

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

を求めよ。

ステップ 2/5: 場合

f(0)\ne0

前のステップ次のステップ

ざっくり言うと

$f(0)\ne0$ ならば、 $f$ のすべての不動点は $1$ に等しいことが分かり、前段の族は常にその値に等しくなければならない。

f(0)\ne0 \ \Rightarrow\ f(x)\equiv 2-x

詳しい解説

関数方程式で $x=0$ とおくと、任意の $y$ に対して $f\big(f(y)\big)+f(0)=f(y)+yf(0)$ が得られる。 $y_0$ を任意の不動点とすると（つまり $f(y_0)=y_0$ ）、 $y=y_0$ を代入して $f(y_0)+f(0)=y_0+y_0f(0)$ 、すなわち $y_0+f(0)=y_0+y_0f(0)$ 、すなわち $f(0)=y_0f(0)$ となる。 $f(0)\ne0$ であるから、これは $y_0=1$ を強制する： $f$ の不動点は $1$ のみである。前段より、任意の $x$ に対して $x+f(x+1)=1$ 、すなわち $f(x+1)=1-x$ 、すなわち任意の実数 $u$ に対して $f(u)=2-u$ となる。 $f(x)=2-x$ が元の方程式を満たすことは直接確認できる。