第5問

ここで $f(0)=0$ とする。方程式で $y=0$、$x$ を $x+1$ に置き換えると $f\big(x+1+f(x+1)\big)+f(0)=x+1+f(x+1)$ が得られ、（$f(0)=0$ より）任意の $x$ に対して $x+1+f(x+1)$ も不動点である。最初のステップの事実（$x+f(x+1)$ が不動点であること）で $x=-1$ とおくと $-1+f(0)=-1$ が不動点、すなわち $f(-1)=-1$ が得られる。元の方程式で $x=1,y=-1$ とおき $f(-1)=-1$ を用いると $f(1)+f(-1)=1+f(0)-f(1)$、すなわち $f(1)-1=1-f(1)$ となり $f(1)=1$ が得られる。さて任意の $x$ に対して $y_0=x+f(x+1)$ と $y_0+1=x+1+f(x+1)$ はともに不動点である；元の方程式で $x=1,y=y_0$ とおき $f(1)=1$ を用いて簡約すると、$y_0$ と $y_0+1$ がともに不動点であるときはいつでも $y_0+2$ も不動点であることが分かる。したがって任意の $x$ に対して $x+f(x+1)+2$ は不動点であり、$x$ を $x-2$ に置き換えると：任意の $x$ に対して $x+f(x-1)$ は不動点である、すなわち $f\big(x+f(x-1)\big)=x+f(x-1)$ となる。