MathLabs

第5問

R\mathbb{R} を実数全体の集合とする。すべての実数 xx, yy に対して方程式 f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x) を満たすすべての関数 f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R} を求めよ。
ステップ 4/5: 場合 f(0)=0f(0)=0：ff は奇関数である
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

新たに見つかった不動点は y=−1y=-1 における方程式のほとんどを打ち消し、ff の奇関数性だけを残す。

P(x,−1): f(x+f(x−1))+f(−x)=x+f(x−1)−f(x) ⇒ f(−x)=−f(x)P(x,-1):\ f\big(x+f(x-1)\big)+f(-x)=x+f(x-1)-f(x)\ \Rightarrow\ f(-x)=-f(x)
詳しい解説

元の方程式で y=−1y=-1 とおくと f(x+f(x−1))+f(−x)=x+f(x−1)+(−1)f(x)f\big(x+f(x-1)\big)+f(-x)=x+f(x-1)+(-1)f(x) が得られる。前段より f(x+f(x−1))=x+f(x−1)f\big(x+f(x-1)\big)=x+f(x-1) であるから、これは x+f(x−1)+f(−x)=x+f(x−1)−f(x)x+f(x-1)+f(-x)=x+f(x-1)-f(x) に簡約され、すなわち任意の実数 xx に対して f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x)：ff は奇関数である。