MathLabs

第5問

R\mathbb{R} を実数全体の集合とする。すべての実数 xx, yy に対して方程式 f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x) を満たすすべての関数 f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R} を求めよ。
ステップ 5/5: 場合 f(0)=0f(0)=0：f(1)=1f(1)=1 と奇関数性を用いて仕上げる
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

(1,y)(1,y) における方程式とその「鏡像」である (−1,−y)(-1,-y) における方程式を足し合わせると、未知の項 f(1+f(y+1))f(1+f(y+1)) が消え、直接 f(y)=yf(y)=y が残る。

P(1,y): f(1+f(y+1))+f(y)=1+f(y+1)+yP(−1,−y)+oddness ⇒ f(y)=yP(1,y):\ f\big(1+f(y+1)\big)+f(y)=1+f(y+1)+y \qquad P(-1,-y)+\text{oddness}\ \Rightarrow\ f(y)=y
詳しい解説

元の方程式で x=1x=1 とおき f(1)=1f(1)=1 を用いると、任意の yy に対して f(1+f(y+1))+f(y)=1+f(y+1)+yf\big(1+f(y+1)\big)+f(y)=1+f(y+1)+y が得られる。次に (x,y)↦(−1,−y)(x,y)\mapsto(-1,-y) とおき f(−1)=−1f(-1)=-1 を用いると f(−1+f(−1−y))+f(y)=−1+f(−1−y)+yf\big(-1+f(-1-y)\big)+f(y)=-1+f(-1-y)+y が得られる。ff は奇関数であるから f(−1−y)=−f(y+1)f(-1-y)=-f(y+1) であり、さらに外側の値にも奇関数性を適用すると f(−1−f(y+1))=−f(1+f(y+1))f\big(-1-f(y+1)\big)=-f\big(1+f(y+1)\big) となる；これらを代入すると −f(1+f(y+1))+f(y)=−1−f(y+1)+y-f\big(1+f(y+1)\big)+f(y)=-1-f(y+1)+y が得られる。これを最初に示した式に加えると、項 f(1+f(y+1))f\big(1+f(y+1)\big) が消え：2f(y)=2y2f(y)=2y、したがって任意の実数 yy に対して f(y)=yf(y)=y となる。f(x)=xf(x)=x が元の方程式を満たすことは直接確認できる。