MathLabs

第6問

整数の数列 a1,a2,…a_1,a_2,\dots が次の条件を満たすとする：(i) すべての j≥1j\ge1 に対して 1≤aj≤20151\le a_j\le 2015；(ii) すべての 1≤k<ℓ1\le k<\ell に対して k+ak≠ℓ+aℓk+a_k\ne \ell+a_\ell。n>m≥Nn>m\ge N を満たすすべての整数 mm, nn に対して ∣∑j=m+1n(aj−b)∣≤10072\left|\sum_{j=m+1}^{n}(a_j-b)\right|\le 1007^2 となるような正の整数 bb と NN が存在することを証明せよ。
ステップ 1/6: 写像 k↦k+akk\mapsto k+a_k は決して値を繰り返さない
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

条件 (ii) はまさに、どの2つの添字も同じ値に写らないという主張である。

f(k)=k+ak is injective on the positive integersf(k)=k+a_k\ \text{is injective on the positive integers}
詳しい解説

条件 (ii)、すなわち k≠ℓk\ne\ell に対して k+ak≠ℓ+aℓk+a_k\ne\ell+a_\ell であることは、写像 f(k)=k+akf(k)=k+a_k が正の整数上で単射であることを正確に意味する。1≤ak≤20151\le a_k\le2015 であるから、f(k)∈{k+1,…,k+2015}f(k)\in\{k+1,\dots,k+2015\} となる：それぞれの矢印 k↦f(k)k\mapsto f(k) は高々 20152015 だけ前方に進む。