MathLabs

第6問

整数の数列 a1,a2,…a_1,a_2,\dots が次の条件を満たすとする：(i) すべての j≥1j\ge1 に対して 1≤aj≤20151\le a_j\le 2015；(ii) すべての 1≤k<ℓ1\le k<\ell に対して k+ak≠ℓ+aℓk+a_k\ne \ell+a_\ell。n>m≥Nn>m\ge N を満たすすべての整数 mm, nn に対して ∣∑j=m+1n(aj−b)∣≤10072\left|\sum_{j=m+1}^{n}(a_j-b)\right|\le 1007^2 となるような正の整数 bb と NN が存在することを証明せよ。
ステップ 5/6: 固定された境界における超過和の評価
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

tt を過ぎた bb 個の鎖の次の脱出点は 20152015 以下の相異なる正の整数でなければならず、したがってそれらの和は bb 個の最小値と bb 個の最大値の間に挟まれる。

1+2+⋯+b ≤ ∑chain c(min⁡{x>t:x∈c}−t) ≤ 2015+2014+⋯+(2015−b+1)1+2+\dots+b\ \le\ \sum_{\text{chain }c}\big(\min\{x>t:x\in c\}-t\big)\ \le\ 2015+2014+\dots+(2015-b+1)
詳しい解説

境界 tt（=m=m または nn）を t≥Nt\ge N で固定する。bb 個の鎖それぞれについて、min⁡{x>t:x∈c}−t\min\{x>t:x\in c\}-t は 20152015 以下の正の整数である（1つの鎖の連続する元は高々 20152015 しか離れていない）。そしてこれら bb 個の超過値は bb 個の鎖にわたって互いに相異なる。なぜなら、ある点 xx はただ1つの鎖にのみ属するからである。したがってそれらの和は、取りうる最小の相異なる正の値 bb 個の和 1+2+⋯+b1+2+\cdots+b と、20152015 を超えない最大の値 bb 個の和 2015+2014+⋯+(2015−b+1)2015+2014+\cdots+(2015-b+1) の間にある。