MathLabs

第1問

凸五角形 ABCDEABCDE において ∠B>90∘\angle B>90^\circ とし、線分 ACAC 上に ∠FBC=90∘\angle FBC=90^\circ を満たす点 FF をとる。FA=FBFA=FB、DA=DCDA=DC、EA=EDEA=ED が成り立ち、半直線 ACAC と ADAD は角 ∠BAE\angle BAE を三等分するとする。MM を CFCF の中点とする。AMXEAMXE が平行四辺形となるような点を XX とする。直線 FXFX、EMEM、BDBD が一点で交わることを示せ。
ステップ 1/7: 三等分角に名前を付ける
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

∠BAE\angle BAE の三等分と、与えられた二つの二等辺三角形 FABFAB、DACDAC が組み合わさって、図全体に一つの繰り返し角が生じる。

α:=∠FBA=∠FAB=∠FAD=∠FCD=∠DAE=∠ADE\alpha:=\angle FBA=\angle FAB=\angle FAD=\angle FCD=\angle DAE=\angle ADE
詳しい解説

半直線 AC,ADAC,AD が ∠BAE\angle BAE を三等分し、FA=FBFA=FB により △FAB\triangle FAB が、DA=DCDA=DC により △DAC\triangle DAC が、EA=EDEA=ED により △EAD\triangle EAD がそれぞれ二等辺三角形となることから、六つの角 ∠FAB,∠FBA,∠DAC,∠DCA,∠EAD,∠EDA\angle FAB,\angle FBA,\angle DAC,\angle DCA,\angle EAD,\angle EDA はすべて共通の値 α=13∠BAE\alpha=\tfrac13\angle BAE に等しい。