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第1問

凸五角形 ABCDEABCDE において ∠B>90∘\angle B>90^\circ とし、線分 ACAC 上に ∠FBC=90∘\angle FBC=90^\circ を満たす点 FF をとる。FA=FBFA=FB、DA=DCDA=DC、EA=EDEA=ED が成り立ち、半直線 ACAC と ADAD は角 ∠BAE\angle BAE を三等分するとする。MM を CFCF の中点とする。AMXEAMXE が平行四辺形となるような点を XX とする。直線 FXFX、EMEM、BDBD が一点で交わることを示せ。
ステップ 2/7: 平行線と円に内接する四辺形 BCDFBCDF
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

角の二等分線、直角、そして相似な二等辺三角形のペア——これはまさに内心・傍心のペアの古典的な特徴である。

F=incenter⁡(△DAB),C=A-excenter(△DAB),DA=DBF=\operatorname{incenter}(\triangle DAB),\quad C=A\text{-excenter}(\triangle DAB),\quad DA=DB
詳しい解説

6つの角が α\alpha に等しいので ∠DAC=∠DCA\angle DAC=\angle DCA、したがって AB∥CDAB\parallel CD である。G=AB∩CDG=AB\cap CD とおく。すると ∠FDC=∠FGA=90∘\angle FDC=\angle FGA=90^\circ であり、また ∠FBC=90∘\angle FBC=90^\circ だから、B,C,D,FB,C,D,F は同一円上にある。