MathLabs

第1問

凸五角形 ABCDEABCDE において ∠B>90∘\angle B>90^\circ とし、線分 ACAC 上に ∠FBC=90∘\angle FBC=90^\circ を満たす点 FF をとる。FA=FBFA=FB、DA=DCDA=DC、EA=EDEA=ED が成り立ち、半直線 ACAC と ADAD は角 ∠BAE\angle BAE を三等分するとする。MM を CFCF の中点とする。AMXEAMXE が平行四辺形となるような点を XX とする。直線 FXFX、EMEM、BDBD が一点で交わることを示せ。
ステップ 3/7: 中点 MM の周りの等しい長さ
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

傍心と内心を結ぶ線分 CFCF の中点は、常に対応する弧の中点であり、同時に二つの垂線の足と二つの心を通る円の中心でもある。

△AFE≅△FBM,AE=EF=FM=MB\triangle AFE\cong\triangle FBM,\quad AE=EF=FM=MB
詳しい解説

∠BFC=∠FBA+∠FAB=∠FAE\angle BFC=\angle FBA+\angle FAB=\angle FAE なので、直角三角形の角の条件から △AFE≅△FBM\triangle AFE\cong\triangle FBM である。したがって AE=EF=FM=MBAE=EF=FM=MB となる。