MathLabs

第1問

凸五角形 ABCDEABCDE において ∠B>90∘\angle B>90^\circ とし、線分 ACAC 上に ∠FBC=90∘\angle FBC=90^\circ を満たす点 FF をとる。FA=FBFA=FB、DA=DCDA=DC、EA=EDEA=ED が成り立ち、半直線 ACAC と ADAD は角 ∠BAE\angle BAE を三等分するとする。MM を CFCF の中点とする。AMXEAMXE が平行四辺形となるような点を XX とする。直線 FXFX、EMEM、BDBD が一点で交わることを示せ。
ステップ 4/7: 平行四辺形により XX は円上にある
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

DD と BB における等しい角 α\alpha が、A,B,M,DA,B,M,D を通る円上で EE を対称な位置に置く。

MX=EA=MF,B,C,D,F,X concyclicMX=EA=MF,\quad B,C,D,F,X\text{ concyclic}
詳しい解説

平行四辺形より MX=EA=MFMX=EA=MF。MM は CFCF の中点なので MC=MF=DEMC=MF=DE、さらに DE∥MCDE\parallel MC である。よって MCDEMCDE は平行四辺形であり、B,C,D,F,XB,C,D,F,X は一つの円上にある（同値に、MX=MFMX=MF から得られる等しい弦が同じ円内接四辺形を与える）。