MathLabs

第1問

凸五角形 ABCDEABCDE において ∠B>90∘\angle B>90^\circ とし、線分 ACAC 上に ∠FBC=90∘\angle FBC=90^\circ を満たす点 FF をとる。FA=FBFA=FB、DA=DCDA=DC、EA=EDEA=ED が成り立ち、半直線 ACAC と ADAD は角 ∠BAE\angle BAE を三等分するとする。MM を CFCF の中点とする。AMXEAMXE が平行四辺形となるような点を XX とする。直線 FXFX、EMEM、BDBD が一点で交わることを示せ。
ステップ 5/7: MM を中心とする対称な台形
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

弧の中点構造から得られる平行線が、平行四辺形の第四頂点が既知の円上のどこに位置するかを正確に特定する。

EF∥MD,EF=FM=MD=DEEF\parallel MD,\quad EF=FM=MD=DE
詳しい解説

先の平行四辺形と等しい長さから EF∥MDEF\parallel MD、EF=FM=MD=DEEF=FM=MD=DE が得られる。したがって EFMDEFMD はひし形である。同じ角追跡により ∠MBF=∠MFB=2α\angle MBF=\angle MFB=2\alpha、∠MXD=∠MDX=2α\angle MXD=\angle MDX=2\alpha となり、MB=MF=MD=MXMB=MF=MD=MX と合わせて四辺形 BFDXBFDX は等脚台形である。