MathLabs

第1問

凸五角形 ABCDEABCDE において ∠B>90∘\angle B>90^\circ とし、線分 ACAC 上に ∠FBC=90∘\angle FBC=90^\circ を満たす点 FF をとる。FA=FBFA=FB、DA=DCDA=DC、EA=EDEA=ED が成り立ち、半直線 ACAC と ADAD は角 ∠BAE\angle BAE を三等分するとする。MM を CFCF の中点とする。AMXEAMXE が平行四辺形となるような点を XX とする。直線 FXFX、EMEM、BDBD が一点で交わることを示せ。
ステップ 6/7: EMEM に関する対称性から共点性
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

EX∥FMEX\parallel FM が分かれば、等脚台形であるためには脚の長さが等しいことだけが必要であり、その脚の長さは繰り返し現れる角 α\alpha の別の実例から得られる。

B,X and D,E are symmetric about EM⇒BD and FX meet on EMB,X\text{ and }D,E\text{ are symmetric about }EM\quad\Rightarrow\quad BD\text{ and }FX\text{ meet on }EM
詳しい解説

直線 EMEM は ∠FMD\angle FMD を二等分するので、等脚台形 BFDXBFDX の対称軸である。したがって B,XB,X は EMEM に関して対称であり、D,ED,E も対称である。よって直線 BDBD の反射像は直線 FXFX であり、両直線の交点は軸 EMEM 上にある。 軸は EMEM である。 EMEM.