第1問
凸五角形 において とし、線分 上に を満たす点 をとる。、、 が成り立ち、半直線 と は角 を三等分するとする。 を の中点とする。 が平行四辺形となるような点を とする。直線 、、 が一点で交わることを示せ。
ざっくり言うと
三つの円がそれぞれのペアの根軸として直線 、、 を持つならば、これら三つの直線は一点で交わらなければならない。
詳しい解説
三つの円 （ を通り、上のステップですべて共円であることが示されている）、（ を通り、すなわちステップ3の円 にステップ4の を加えたもの）、（ステップ5の等脚台形）を考える。直線 は最初の二円の根軸（それらの共通弦）であり、直線 は第二と第三の円の根軸（共通弦 、すなわち共有点そのもの）であり、直線 は第一と第三の円の根軸である。根軸定理により、三つの円が互いに同心でない限り、三つのペアごとの根軸 、、 はすべて平行であるか、一点で交わるかのいずれかである。この配置では平行でないので、これらは一点で交わり、これはまさに求める結論である。