第2問

n\times n

の表の各マスに文字

I

、

M

、

O

のいずれかを、次の条件を満たすように書き込めるような整数

n

をすべて求めよ：各行と各列において、

I

、

M

、

O

がそれぞれちょうど3分の1ずつ現れる。また、任意の対角線について、その対角線上のマスの個数が3の倍数ならば、

I

、

M

、

O

がそれぞれちょうど3分の1ずつ現れる。（

n\times n

の表には両方向合わせて合計

4n-2

本の対角線があることに注意せよ。）

ステップ 2/5: 必要性：よいマスを印付けする

ざっくり言うと

行と列の条件から $3\mid n$ が従う。両方の座標が $2$ を法として $3$ に合同なマスが、二方向から数えられる中心になる。

n=3k,\quad G=\{(3r+2,3s+2):0\le r,s<k\}

詳しい解説

各行が各文字を3分の1ずつ含むので $3\mid n$ 、 $n=3k$ とおく。マス $(3r+2,3s+2)$ をよいマスと呼ぶ。 $I$ が入ったよいマスの個数を $a$ とする。各よいマスは両方向の対角線を1本ずつ通り、両方の対角線の長さは3の倍数である。 $3$