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第2問

n×nn\times n の表の各マスに文字 II、MM、OO のいずれかを、次の条件を満たすように書き込めるような整数 nn をすべて求めよ：各行と各列において、II、MM、OO がそれぞれちょうど3分の1ずつ現れる。また、任意の対角線について、その対角線上のマスの個数が3の倍数ならば、II、MM、OO がそれぞれちょうど3分の1ずつ現れる。（n×nn\times n の表には両方向合わせて合計 4n−24n-2 本の対角線があることに注意せよ。）
ステップ 3/5: 二つの対角線族上の II を数える
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

対角線の仮定により、各族にはちょうど n2/9n^2/9 個の II がある。その共通部分は II が入ったよいマスに一致する。

∣D1∣=∣D2∣=19n2,∣D1∩D2∣=a|D_1|=|D_2|=\tfrac19n^2,\quad |D_1\cap D_2|=a
詳しい解説

D1,D2D_1,D_2 を、それぞれ2方向の長さが3の倍数の対角線上で II を含むマスの集合とする。各対角線は均衡しているので ∣D1∣=∣D2∣=n2/9|D_1|=|D_2|=n^2/9。共通部分はちょうどよい II マスなので ∣D1∩D2∣=a|D_1\cap D_2|=a である。したがって ∣D1∪D2∣=2n2/9−a|D_1\cup D_2|=2n^2/9-a、ちょうど一方の族に属する II マスは 2n2/9−2a2n^2/9-2a 個である。 33