第2問

n\times n

の表の各マスに文字

I

、

M

、

O

のいずれかを、次の条件を満たすように書き込めるような整数

n

をすべて求めよ：各行と各列において、

I

、

M

、

O

がそれぞれちょうど3分の1ずつ現れる。また、任意の対角線について、その対角線上のマスの個数が3の倍数ならば、

I

、

M

、

O

がそれぞれちょうど3分の1ずつ現れる。（

n\times n

の表には両方向合わせて合計

4n-2

本の対角線があることに注意せよ。）

ステップ 4/5: 行と列で残りの

I

マスを数える

前のステップ次のステップ

ざっくり言うと

添字が3を法として2である行と列が補集合を数え、その共通部分もよい $I$ マスになる。 $2$ と $3$

|C\cup R|=\tfrac29n^2-a,\quad |I|=\tfrac49n^2-3a

詳しい解説

$C$ を列 $3s+2$ にある $I$ のマス、 $R$ を行 $3r+2$ にある $I$ のマスとする。選んだ各列・行は均衡しているので $|C|=|R|=n^2/9$ 、共通部分は $a$ 個のよい $I$ マスである。よって $|C\cup R|=2n^2/9-a$ 。ちょうど一方の対角線族に属する部分は $2n^2/9-2a$ 個、行列の和集合は $2n^2/9-a$ 個なので、 $I$ マスの総数は $4n^2/9-3a$ となる。