第2問

n\times n

の表の各マスに文字

I

、

M

、

O

のいずれかを、次の条件を満たすように書き込めるような整数

n

をすべて求めよ：各行と各列において、

I

、

M

、

O

がそれぞれちょうど3分の1ずつ現れる。また、任意の対角線について、その対角線上のマスの個数が3の倍数ならば、

I

、

M

、

O

がそれぞれちょうど3分の1ずつ現れる。（

n\times n

の表には両方向合わせて合計

4n-2

本の対角線があることに注意せよ。）

ステップ 5/5:

9\mid n

を結論する

前のステップ次のステップ

ざっくり言うと

表全体の $I$ の個数と二方向からの数え上げが一致するには、 $n^2/9$ が3で割り切れなければならない。 $3$

\tfrac13n^2=\tfrac49n^2-3a\quad\Rightarrow\quad 9\mid n

詳しい解説

行の条件から $I$ のマスはちょうど $n^2/3$ 個である。これをステップ3、4の数え上げと等置すると $n^2/3=4n^2/9-3a$ 、したがって $3a=n^2/9$ 。よって $3\mid n^2/9$ であり、 $3\mid n$ と合わせてこれは $9\mid n$ と同値である。明示的な周期タイルと合わせ、答えは正の $9$ の倍数ちょうどである。