MathLabs

第3問

平面上の凸多角形 P=A1A2⋯AkP=A_1A_2\cdots A_k を考える。頂点 A1,A2,…,AkA_1,A_2,\dots,A_k は整数座標を持ち、ある円周上にある。PP の面積を SS とする。PP の各辺の長さの2乗が nn で割り切れる整数であるような正の奇数 nn が与えられている。2S2S が nn で割り切れる整数であることを証明せよ。
ステップ 1/5: 素数べきに帰着させ、三角形の場合を解決する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

nn を割り切る各奇素数べきを個別に確認すれば十分であり、三角形の場合はヘロンの公式の対称形により、整除性が項ごとに見える形になる。

S=142a2b2+2b2c2+2c2a2−a4−b4−c4S=\tfrac14\sqrt{2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4}
詳しい解説

命題を n=pen=p^e（pp は奇素数、e≥1e\ge1）について証明すれば十分である（一般の奇数 nn については、nn の各素数べき因子による 2S2S の整除性が組み合わさって nn による整除性が得られるので従う）。k=3k=3（辺 a,b,ca,b,c を持つ三角形）の場合、対称形のヘロンの公式により S=142a2b2+2b2c2+2c2a2−a4−b4−c4S=\tfrac14\sqrt{2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4} となり、16S2=2a2b2+2b2c2+2c2a2−a4−b4−c416S^2=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4 が成り立つ。pe∣gcd⁡(a2,b2,c2)p^e\mid\gcd(a^2,b^2,c^2) ならば pep^e は a2,b2,c2a^2,b^2,c^2 のそれぞれを割り切るので、p2ep^{2e} は右辺のすべての項を割り切り、したがって p2e∣16S2p^{2e}\mid16S^2 となる。pp は奇数であるから、奇素数に寄与しない 16=2416=2^4 の因子を除いて p2e∣S2p^{2e}\mid S^2 が得られ、よって pe∣2Sp^e\mid 2S となる。