MathLabs

第3問

平面上の凸多角形 P=A1A2⋯AkP=A_1A_2\cdots A_k を考える。頂点 A1,A2,…,AkA_1,A_2,\dots,A_k は整数座標を持ち、ある円周上にある。PP の面積を SS とする。PP の各辺の長さの2乗が nn で割り切れる整数であるような正の奇数 nn が与えられている。2S2S が nn で割り切れる整数であることを証明せよ。
ステップ 2/5: 反転版の一般化されたプトレマイオス関係式
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

多角形をその頂点の一つで反転させると、円に内接する多角形は共線な像点の集合になり、元の円上でのプトレマイオスの不等式は反転後の距離の間の正確な線形関係式になる。

A1A2OA1⋅OA2+A2A3OA2⋅OA3+⋯+AkA1OAk⋅OA1=2⋅A1A2⋯Ai^⋯⋯\frac{A_1A_2}{OA_1\cdot OA_2}+\frac{A_2A_3}{OA_2\cdot OA_3}+\dots+\frac{A_kA_1}{OA_k\cdot OA_1}=2\cdot\frac{A_1A_2\cdots\widehat{A_i}\cdots}{\cdots}
詳しい解説

背理法により、ある (k+1)(k+1) 角形 A1⋯Ak+1A_1\cdots A_{k+1}（すべての辺の長さの2乗が pep^e で割り切れる）に対して命題が成り立たず、反例の中で kk が最小であると仮定する。このとき、すべての対角線は同様の意味で pep^e で割り切れない（さもなくば、ある対角線が多角形を、関連するすべての長さの2乗が pep^e で割り切れる二つのより小さな円内接多角形に分割し、より小さい kk に関する帰納法の仮定が適用できてしまう）。O=Ak+1O=A_{k+1} とおき、半径 11 で OO を中心として平面を反転する。反転により AiA_i の外接円は直線に写るので、A1,…,AkA_1,\dots,A_k の像は共線になり、恒等式 A1A2OA1⋅OA2+A2A3OA2⋅OA3+⋯+Ak−1AkOAk−1⋅OAk=A1AkOA1⋅OAk\frac{A_1A_2}{OA_1\cdot OA_2}+\frac{A_2A_3}{OA_2\cdot OA_3}+\dots+\frac{A_{k-1}A_k}{OA_{k-1}\cdot OA_k}=\frac{A_1A_k}{OA_1\cdot OA_k}（その直線に沿った反転距離の望遠鏡和）は、反転された点に対するまさに一般化されたプトレマイオス関係式である。