プトレマイオス関係式の各項は、分子（pep^epe で割り切れる辺の長さの2乗）と分母（二つの半径の積）を2乗した後、正の有理数の平方根になっている。
各項 AiAi+1OAi⋅OAi+1\frac{A_iA_{i+1}}{OA_i\cdot OA_{i+1}}OAi⋅OAi+1AiAi+1 は、AiAi+1=AiAi+12A_iA_{i+1}=\sqrt{A_iA_{i+1}^2}AiAi+1=AiAi+12 を用いて qi\sqrt{q_i}qi（ここで qi=AiAi+12OAi2⋅OAi+12q_i=\dfrac{A_iA_{i+1}^2}{OA_i^2\cdot OA_{i+1}^2}qi=OAi2⋅OAi+12AiAi+12 は正の有理数、なぜならすべての座標、したがってすべての距離の2乗は有理数——実際には整数——であるから）と書き直せる。同様に右辺は、正の有理数 q=A1Ak2OA12⋅OAk2q=\dfrac{A_1A_k^2}{OA_1^2\cdot OA_k^2}q=OA12⋅OAk2A1Ak2 を用いて q\sqrt qq となる。したがって恒等式は q1+q2+⋯+qk−1=q\sqrt{q_1}+\sqrt{q_2}+\dots+\sqrt{q_{k-1}}=\sqrt qq1+q2+⋯+qk−1=q となる。