第3問

ここで、すべての対角線の長さの2乗の $p$-進付値が $<e$ であると仮定する。$\nu_p$ を 0 でない有理数上の付値とし、$u_i=\nu_p(OA_i^2)$、$t_i=\nu_p(A_iA_{i+1}^2)$、$d=\nu_p(A_1A_k^2)$ とおく。$OA_1,OA_k$ は辺なので $u_1,u_k\ge e$ であり、残りの $OA_i$ は対角線なので $2\le i\le k-1$ で $u_i<e$ である。また $A_iA_{i+1}$ は辺だから $t_i\ge e$、一方 $A_1A_k$ は対角線だから $d<e$ である。$q_i=\dfrac{A_iA_{i+1}^2}{OA_i^2\cdot OA_{i+1}^2}$ と $q=\dfrac{A_1A_k^2}{OA_1^2\cdot OA_k^2}$ から $\nu_p(q_i)=t_i-u_i-u_{i+1}$、$\nu_p(q)=d-u_1-u_k$ を得る。したがって両端では $\nu_p(q_1)-\nu_p(q)=(t_1-d)+(u_k-u_2)>0$ および $\nu_p(q_{k-1})-\nu_p(q)=(t_{k-1}-d)+(u_1-u_{k-1})>0$ である。各括弧内は少なくとも $1$ である。$2\le i\le k-2$ では $\nu_p(q_i)-\nu_p(q)=(t_i-d)+(u_1+u_k-u_i-u_{i+1})>0$ であり、第一の括弧は少なくとも $1$、第二の括弧は少なくとも $2$ だからである。よってすべての $i$ について $\nu_p(q_i)>\nu_p(q)$、すなわち $\nu_p(q_i^2)>\nu_p(q^2)$ である。次の平方根補題を用いる：正の有理数が $\sum_i\sqrt{x_i}=\sqrt{x}$ を満たすなら、ある正の有理数 $b$ が存在して、すべての $\sqrt{x_i/b}$ と $\sqrt{x/b}$ が有理数になる。実際、各被開平数を有理数の平方と正の平方因子を持たない整数との積に書くと、異なる平方因子を持たない整数の平方根は $\mathbb Q$ 上線形独立であり、正であることから異なる平方類の間で相殺は起こらない。この補題をプトレマイオス関係式に適用すると、$r_i=\sqrt{q_i/b}$ と $r=\sqrt{q/b}$ は正の有理数で、$\sum_i r_i=r$ を満たす。$\nu_p(r_i^2)=\nu_p(q_i)-\nu_p(b)$ および $\nu_p(r^2)=\nu_p(q)-\nu_p(b)$ だから、上の狭義不等式よりすべての $i$ で $\nu_p(r_i)>\nu_p(r)$ となる。超距離不等式により $\nu_p(\sum_i r_i)\ge\min_i\nu_p(r_i)>\nu_p(r)$ だが、これは $\sum_i r_i=r$ に矛盾する。したがって、すべての対角線が失敗するという仮定は不可能である。