MathLabs

第3問

平面上の凸多角形 P=A1A2⋯AkP=A_1A_2\cdots A_k を考える。頂点 A1,A2,…,AkA_1,A_2,\dots,A_k は整数座標を持ち、ある円周上にある。PP の面積を SS とする。PP の各辺の長さの2乗が nn で割り切れる整数であるような正の奇数 nn が与えられている。2S2S が nn で割り切れる整数であることを証明せよ。
ステップ 5/5: 最小反例と素数べきの結合による結論
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

この矛盾により、解決済みの三角形の場合を超えるいかなる最小反例も排除され、帰納法が元の多角形までの隙間を埋める。

no counterexample exists ⇒ n=pe∣2S ⇒ n∣2S for general odd n\text{no counterexample exists}\ \Rightarrow\ n=p^e\mid 2S\ \Rightarrow\ n\mid2S\ \text{for general odd } n
詳しい解説

前のステップの矛盾により、三角形の場合を超える k≥3k\ge3 頂点の最小反例は存在し得ないことが分かる：対角線自体がその長さの2乗を pep^e で割り切る場合（この場合、それが作る二つのより小さな円内接部分多角形——それぞれ厳密に頂点数が少なく、どちらもすでに整除性を満たすことが分かっている——について帰納法を適用でき、多角形全体の 2S2S は二つの部分の 2S2S の和になる）、あるいはそのような対角線が存在せず、前のステップの付値論法が矛盾を与える場合のいずれかである。三角形の基底ケース（ステップ1）から始まる強い帰納法により、すべての辺の長さの2乗が pep^e で割り切れる、すべての凸格子円内接多角形は pe∣2Sp^e\mid2S を満たす。nn（奇数）はそのような素数べき pep^e の積であり、2S2S が各素数べきで割り切れることが（2S2S が一つの固定された整数であるため）組み合わさって、その積 nn による整除性になるので、n∣2Sn\mid2S であると結論づけられる。