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第4問

少なくとも2個の要素を持ち、各要素がほかの要素の少なくとも一つと共通の素因数を持つとき、その正の整数の集合を 芳香的 であるという。P(n)=n2+n+1P(n)=n^2+n+1 とする。集合 {P(a+1),P(a+2),…,P(a+b)}\{P(a+1),P(a+2),\dots,P(a+b)\} が芳香的となるような非負整数 aa が存在するような正の整数 bb の最小値を求めよ。
ステップ 5/5: すべての頂点が覆われるので、b=6b=6 は成立し、かつ最適である
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

中国剰余定理から得られる3組のペアは、6個の指数をちょうど3組のペアに分割するので、6個の値それぞれに素因数を共有する相手が存在する。

b=6 is the smallest value for which a fragrant set {P(a+1),…,P(a+b)} existsb=6\ \text{is the smallest value for which a fragrant set }\{P(a{+}1),\dots,P(a{+}b)\}\text{ exists}
詳しい解説

前のステップで選んだ aa に対して、3組のペア {a+1,a+5}\{a+1,a+5\}（共通因子 1919）、{a+2,a+4}\{a+2,a+4\}（共通因子 77）、{a+3,a+6}\{a+3,a+6\}（共通因子 33）は6個の指数 a+1,…,a+6a+1,\dots,a+6 すべてをペアに分割するので、{P(a+1),…,P(a+6)}\{P(a+1),\dots,P(a+6)\} のすべての要素は他の少なくとも1つの要素と素因数を共有する：この集合は芳香的である。ステップ3で示した b≤5b\le5 が不可能であることと合わせると、bb の最小値は 66 である。