MathLabs

第5問

20162016 個の1次因子を各辺に持つ方程式 (x−1)(x−2)⋯(x−2016)=(x−1)(x−2)⋯(x−2016)(x-1)(x-2)\cdots(x-2016)=(x-1)(x-2)\cdots(x-2016) が黒板に書かれている。これら 40324032 個の1次因子のうちちょうど kk 個を、各辺に少なくとも1個の因子が残り、かつ得られる方程式が実数解を持たないように消去できるとき、そのような kk の最小値はいくらか。
ステップ 1/6: 必要性:少なくとも 20162016 個の因子を消去しなければならない
ざっくり言うと

因子 (x−i)(x-i) が両辺で消されずに残ると、x=ix=i は明らかな実数解となってしまう。

k≥2016k\ge2016
詳しい解説

両辺には共通の1次因子 (x−1),…,(x−2016)(x-1),\dots,(x-2016) が 20162016 個ある。もしそのうちのどれか、例えば (x−i)(x-i) が両辺で手つかずのまま残れば、x=ix=i が得られる方程式の解になってしまう。したがって、すべての (x−i)(x-i) について少なくとも1つのコピーを消去しなければならず、合計で少なくとも 20162016 個の因子を消去する必要がある。