MathLabs

第5問

20162016 個の1次因子を各辺に持つ方程式 (x−1)(x−2)⋯(x−2016)=(x−1)(x−2)⋯(x−2016)(x-1)(x-2)\cdots(x-2016)=(x-1)(x-2)\cdots(x-2016) が黒板に書かれている。これら 40324032 個の1次因子のうちちょうど kk 個を、各辺に少なくとも1個の因子が残り、かつ得られる方程式が実数解を持たないように消去できるとき、そのような kk の最小値はいくらか。
ステップ 2/6: ちょうど 20162016 個の因子を消去する候補
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

指数 1,…,20161,\dots,2016 を 44 個ずつ 504504 個のブロックに分け、各辺で反対の剰余を残すことで、問題は1つの具体的な方程式が実数解を持たないことを示すことに帰着される。

∏j=0503(x−4j−1)(x−4j−4)=∏j=0503(x−4j−2)(x−4j−3)\prod_{j=0}^{503}(x-4j-1)(x-4j-4)=\prod_{j=0}^{503}(x-4j-2)(x-4j-3)
詳しい解説

左辺から k≡2,3(mod4)k\equiv2,3\pmod4 を満たすすべての因子 (x−k)(x-k) を消去し、右辺から m≡0,1(mod4)m\equiv0,1\pmod4 を満たすすべての因子 (x−m)(x-m) を消去する。これによりちょうど 2⋅504+2⋅504=20162\cdot504+2\cdot504=2016 個の因子が消去される。20162016 個の指数を j=0,…,503j=0,\dots,503 に対する 504504 個のブロック {4j+1,4j+2,4j+3,4j+4}\{4j+1,4j+2,4j+3,4j+4\} として書くと、残る方程式はちょうど ∏j=0503(x−4j−1)(x−4j−4)=∏j=0503(x−4j−2)(x−4j−3)\prod_{j=0}^{503}(x-4j-1)(x-4j-4)=\prod_{j=0}^{503}(x-4j-2)(x-4j-3) となる。あとはこれが実数解を持たないことを示せばよい。