第5問

2016

個の1次因子を各辺に持つ方程式

(x-1)(x-2)\cdots(x-2016)=(x-1)(x-2)\cdots(x-2016)

が黒板に書かれている。これら

4032

個の1次因子のうちちょうど

k

個を、各辺に少なくとも1個の因子が残り、かつ得られる方程式が実数解を持たないように消去できるとき、そのような

k

の最小値はいくらか。

ステップ 3/6: 場合1と場合2：整数点、およびブロック付近の点

前のステップ次のステップ

ざっくり言うと

$2016$ 個の整数点では、ちょうど一方の辺が消える。あるブロックのすぐ内側では、左辺のちょうど1つの因子が負になる一方、右辺のすべての因子は正のままである。

x=1,\dots,2016:\ \text{one side }0,\ \text{other side }\ne0 \qquad 4k{+}1{<}x{<}4k{+}2 \text{ or } 4k{+}3{<}x{<}4k{+}4:\ \text{LHS}<0<\text{RHS}

詳しい解説

場合1： $x\in\{1,\dots,2016\}$ ならば、 $x$ は一方の辺の残っている因子のうち1つを消してしまう（範囲内のすべての整数は、残っている因子のうちどちらか一方の辺にちょうど1回現れるため）一方、もう一方の辺のどの因子も消えない。したがって両辺は異なる。場合2：ある $k\in\{0,\dots,503\}$ に対して $4k+1<x<4k+2$ または $4k+3<x<4k+4$ ならば、ブロック $j=k$ について積 $(x-4k-1)(x-4k-4)$ は負（一方の因子が正、他方が負）であり、他のすべてのブロック $j\ne k$ については積 $(x-4j-1)(x-4j-4)$ は正である。したがって左辺は負である。一方、右辺のすべての因子 $(x-4j-2)(x-4j-3)$ は同符号の2数の積であり（両方の部分範囲について直接確認できる）、正である。したがって右辺は正である。負の数は正の数に等しくなり得ない。