MathLabs

第5問

20162016 個の1次因子を各辺に持つ方程式 (x−1)(x−2)⋯(x−2016)=(x−1)(x−2)⋯(x−2016)(x-1)(x-2)\cdots(x-2016)=(x-1)(x-2)\cdots(x-2016) が黒板に書かれている。これら 40324032 個の1次因子のうちちょうど kk 個を、各辺に少なくとも1個の因子が残り、かつ得られる方程式が実数解を持たないように消去できるとき、そのような kk の最小値はいくらか。
ステップ 5/6: 場合4：あるブロックの真ん中の2つの区間の間
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

両端の2つの因子を分離し、残りをそれぞれ厳密に 11 より大きい項として書き直すと、式全体は 11 を超えなければならないことが分かる。

x−1x−2⋅x−2016x−2015⋅∏j=1503(1+2(x−4j+1)(x−4j−2))=1\frac{x-1}{x-2}\cdot\frac{x-2016}{x-2015}\cdot\prod_{j=1}^{503}\left(1+\frac{2}{(x-4j+1)(x-4j-2)}\right)=1
詳しい解説

場合4：ある k∈{0,…,503}k\in\{0,\dots,503\} に対して 4k+2<x<4k+34k+2<x<4k+3 ならば、目標の方程式を（再び右辺で割るが、今度は残りをペアにする前に境界の2つのブロック j=0j=0 と j=503j=503 を分離して）x−1x−2⋅x−2016x−2015⋅∏j=1503(x−4j)(x−4j−1)(x−4j+1)(x−4j−2)=1\dfrac{x-1}{x-2}\cdot\dfrac{x-2016}{x-2015}\cdot\prod_{j=1}^{503}\dfrac{(x-4j)(x-4j-1)}{(x-4j+1)(x-4j-2)}=1 と書き直し、(x−4j)(x−4j−1)=(x−4j+1)(x−4j−2)+2(x-4j)(x-4j-1)=(x-4j+1)(x-4j-2)+2 に注意すると、積の各因子は 1+2(x−4j+1)(x−4j−2)1+\dfrac{2}{(x-4j+1)(x-4j-2)} に等しい。この範囲では、x−1x−2>1\dfrac{x-1}{x-2}>1 かつ x−2016x−2015>1\dfrac{x-2016}{x-2015}>1 である（どちらも同符号の2数の比で、分子の方が0から遠い）。積の各項も直接の符号確認により >1>1 である。厳密に 11 より大きい数の積は、それ自体が厳密に 11 より大きくなり、11 に等しいはずであることと矛盾する。