MathLabs

第5問

20162016 個の1次因子を各辺に持つ方程式 (x−1)(x−2)⋯(x−2016)=(x−1)(x−2)⋯(x−2016)(x-1)(x-2)\cdots(x-2016)=(x-1)(x-2)\cdots(x-2016) が黒板に書かれている。これら 40324032 個の1次因子のうちちょうど kk 個を、各辺に少なくとも1個の因子が残り、かつ得られる方程式が実数解を持たないように消去できるとき、そのような kk の最小値はいくらか。
ステップ 6/6: 結論
ざっくり言うと

4つの場合を合わせるとすべての実数がカバーされるので、候補の消去方法は本当に実数解を持たず、下界と一致する。

k=2016k=2016
詳しい解説

すべての実数 xx は、場合1(整数 1,…,20161,\dots,2016)、場合2(ブロック境界付近)、場合3(外側の遠方、または2つのブロックの間)、場合4(あるブロックの中央)のいずれかちょうど1つに属し、それぞれの場合でステップ2の方程式は成り立たない。したがって、ステップ2の消去(ちょうど 20162016 個の因子)は実数解を持たない方程式を生み出す。ステップ1の必要性の下界と合わせると、最小の値は k=2016k=2016 である。