第6問

$n$ が奇数のとき、$n=2m+1$ と書き、$C_r$（$r=0,1,\dots,2m$）を、奇数番目の点 $Q_r=P_{2r+1}$（$P$ の添字は $2n$ を法として読む）からカエルが出発する線分とする。もう一方の端点は $P_{2r+1+n}$ である。したがって配置は明示的である：カエルはすべての奇数番目の点 $P_1,P_3,\dots,P_{2n-1}$ から出発し、$n$ 本の各線分に1匹ずつ置かれ、$C_r$ 上のカエルは $Q_r$ から $P_{2r+1+n}$ へ向く。$C_0$ を固定する。$r=1,\dots,m$ では、$C_r$ の端点 $P_{1+2r}$ は $P_1$ から $P_{1+n}$ への開いた円弧上にある。$r=m+1,\dots,2m$ では、その円弧上にある $C_r$ の端点は対蹠点 $P_{1+2r+n}$ であり、$P_1$ からの相対的な添字は $2r-n$ である。$n=2m+1$ なので、これらの相対添字はそれぞれ $2,4,\dots,2m$ と $1,3,\dots,2m-1$ であり、円弧上でちょうどすべての整数 $1,2,\dots,n-1$ を順に与える。したがって、$C_r$ が $C_0$ と交わるとき、$C_0$ 上のカエルから数えた交点の順位は、$r=1,\dots,m$ なら $\rho_0(r)=2r$、$r=m+1,\dots,2m$ なら $\rho_0(r)=2r-n$ である。同じ議論を任意の一対 $C_a,C_b$ に巡回的に適用し、始点の添字の巡回差を $r$ と書けば、2匹のカエルからそれぞれ数えたこの交点の順位は $\rho_0(r)$ と $\rho_r(0)=n-\rho_0(r)$ である：2匹目のカエルからは同じ交点の順序が逆向きに見える。これが不変量／パリティの数え上げである：各ペアの2つの順位は $1,\dots,n-1$ に属する正整数で、その和は $n$ だから、$n$ が奇数である以上、互いに等しくなれない（等しければ $2\rho_0(r)=n$ となる）。拍手 $k$ 回目（$1\le k\le n-1$）の後、カエルは自分の向きの線分上で $k$ 番目の交点にいる。したがって2匹が衝突できるのはペアの2つの順位が等しい場合だけだが、それはすでに排除された。この明示的な奇数点配置は、すべての衝突を避ける。