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第1問

各整数 a0>1a_0>1 に対し、n≥0n\ge 0 について数列 a0,a1,a2,…a_0,a_1,a_2,\ldots を an+1={anif an is an integer,an+3otherwise.a_{n+1}=\begin{cases}\sqrt{a_n} & \text{if }\sqrt{a_n}\text{ is an integer},\\ a_n+3 & \text{otherwise}.\end{cases} と定める。無限に多くの nn について an=Aa_n=A となる数 AA が存在するような a0a_0 をすべて求めよ。
ステップ 3/5: 3∤a03\nmid a_0 ならば数列は有界でない
前のステップ次のステップ
an≡2 (mod 3)  ⟹  an+1=an+3a_n\equiv 2\ (\mathrm{mod}\ 3)\implies a_{n+1}=a_n+3
詳しい解説

平方数は ≡0\equiv 0 または 1(mod3)1\pmod 3 であり、22 にはならない。したがって ≡2(mod3)\equiv 2\pmod 3 の項は平方数ではなく、以後ずっと an+1=an+3a_{n+1}=a_n+3 となって数列は無限に増大する。逆に an≡1(mod3)a_n\equiv 1\pmod 3 がすべての nn で続くと仮定し、等差数列 an,an+3,an+6,…a_n,a_n+3,a_n+6,\ldots（ana_n 以上のすべての ≡1(mod3)\equiv 1\pmod 3 の整数を通る）を最初の平方数 K2K^2 に達するまでたどる。KK を ≥⌈an⌉\ge\lceil\sqrt{a_n}\rceil かつ 3∤K3\nmid K を満たす最小の整数とすると K≤an+2K\le \sqrt{a_n}+2 であり、an≥7a_n\ge 7 なら次の項 KK は ana_n より小さい。この降下を繰り返すと、値はいずれ 4=224=2^2 に達し、その次の項は 2≡2(mod3)2\equiv 2\pmod 3 となる。したがって遅かれ早かれ ≡2(mod3)\equiv 2\pmod 3 の項が現れ、数列は有界でない。