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第1問

各整数 a0>1a_0>1 に対し、n≥0n\ge 0 について数列 a0,a1,a2,…a_0,a_1,a_2,\ldots を an+1={anif an is an integer,an+3otherwise.a_{n+1}=\begin{cases}\sqrt{a_n} & \text{if }\sqrt{a_n}\text{ is an integer},\\ a_n+3 & \text{otherwise}.\end{cases} と定める。無限に多くの nn について an=Aa_n=A となる数 AA が存在するような a0a_0 をすべて求めよ。
ステップ 4/5: 3∣a03\mid a_0 ならば数列は有界である
前のステップ次のステップ
an≥12, 3∣an  ⟹  an′<ana_n\ge 12,\ 3\mid a_n\implies a_{n'}<a_n
詳しい解説

先の不変量より、すべての項は 33 の倍数である。33 の倍数である平方数は（33 が素数であることから）必ず 99 の倍数でもある。よって項 an≥12a_n\ge 12 がまだ平方数でない間、an,an+3,an+6,…a_n,a_n+3,a_n+6,\ldots をたどると最初の「99 の倍数である平方数」、すなわち 3t≥an3t\ge\sqrt{a_n} を満たす最小の tt に対する 9t29t^2 に到達する。このとき次の項は 3t≤an+3<an3t\le\sqrt{a_n}+3<a_n となる。この降下を繰り返すと、数列はいずれ 1212 未満に落ち、3,6,93,6,9 のいずれかに達し、そこから永遠に 3→6→9→3→⋯3\to 6\to 9\to 3\to\cdots を巡回する。よって数列全体は有界である。