第2問

\mathbb{R}

を実数全体の集合とする。すべての実数

x

と

y

に対して

f(f(x)f(y)) + f(x+y) = f(xy).

を満たす関数

f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}

をすべて求めよ。

ステップ 2/6:

y=0

を代入する

前のステップ次のステップ

k:=f(0),\qquad f(kf(x))+f(x)=k

詳しい解説

$k=f(0)$ とおく。 $y=0$ を代入すると $f(f(x)f(0))+f(x)=f(0)$ 、すなわちすべての $x$ について $f(kf(x))+f(x)=k$ を得る——これを式 $(\ast)$ と呼ぶ。 $k=0$ なら式 $(\ast)$ は $f(0)+f(x)=0$ となり、すべての $x$ で $f(x)=-f(0)=0$ 、これが解 $f\equiv 0$ である。以後 $k\ne 0$ （ステップ1の符号対称性より $k>0$ ）と仮定する。