第2問

\mathbb{R}

を実数全体の集合とする。すべての実数

x

と

y

に対して

f(f(x)f(y)) + f(x+y) = f(xy).

を満たす関数

f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}

をすべて求めよ。

ステップ 3/6:

f

の唯一の零点を特定する

前のステップ次のステップ

f(z)=0 \iff z=1,\qquad k=f(0)=1

詳しい解説

原方程式に $x=y=0$ を代入すると $f(k^2)+k=k$ 、すなわち $f(k^2)=0$ となり、 $k\ne 0$ なので $f$ には零点が存在する。ここで、ある $z\ne 1$ について $f(z)=0$ と仮定する。 $z\ne 1$ なので、数 $x=z$ 、 $y=z/(z-1)$ は $x+y=xy$ （ともに $z^2/(z-1)$ に等しい）を満たし、 $f(x+y)=f(xy)$ となるので原方程式は $f(f(x)f(y))=0$ を強制する。しかし $f(x)=f(z)=0$ なので $f(x)f(y)=0$ となり $f(0)=0$ が導かれ、 $k\ne 0$ に矛盾する。したがって $z=1$ が $f$ のただ一つの零点である。これを $f(k^2)=0$ に適用すると $k^2=1$ となり、 $k>0$ より $k=1$ ；特に $f(0)=1$ 、 $f(1)=0$ である。