第2問

\mathbb{R}

を実数全体の集合とする。すべての実数

x

と

y

に対して

f(f(x)f(y)) + f(x+y) = f(xy).

を満たす関数

f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}

をすべて求めよ。

ステップ 4/6: 二つの帰結：

f\circ f

と

1

だけの平行移動

前のステップ次のステップ

f(f(x))=1-f(x),\qquad f(x+1)=f(x)-1

詳しい解説

$k=1$ のとき式 $(\ast)$ はすべての $x$ について $f(f(x))=1-f(x)$ となる。別に、原方程式に $y=1$ を代入し $f(1)=0$ を用いると $f(f(x)f(1))+f(x+1)=f(x)$ 、すなわち $f(0)+f(x+1)=f(x)$ となるので $f(x+1)=f(x)-1$ を得る。帰納法により、すべての整数 $n$ （正でも負でも）について $f(x+n)=f(x)-n$ が成り立つ。