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第2問

R\mathbb{R} を実数全体の集合とする。すべての実数 xx と yy に対して f(f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy).f(f(x)f(y)) + f(x+y) = f(xy). を満たす関数 f:R→Rf:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} をすべて求めよ。
ステップ 5/6: ff は単射である
前のステップ次のステップ
f(a)=f(b)  ⟹  a=bf(a)=f(b)\implies a=b
詳しい解説

f(a)=f(b)f(a)=f(b) と仮定する。aa と bb を同じ大きな整数 mm だけ移動しても f(a)=f(b)f(a)=f(b) は保たれ（f(a+m)=f(a)−m=f(b)−m=f(b+m)f(a+m)=f(a)-m=f(b)-m=f(b+m) より）、判別式 (a+m+1)2−4(b+m)(a+m+1)^2-4(b+m) は mm について正の主係数をもつ二次式なので、mm を十分大きくとれば非負になる。したがって最初から x+y=a+1x+y=a+1、xy=bxy=b を満たす実数 x,yx,y が存在すると仮定してよい。このとき原方程式より f(f(x)f(y))=f(xy)−f(x+y)=f(b)−f(a+1)=f(b)−(f(a)−1)=1f(f(x)f(y))=f(xy)-f(x+y)=f(b)-f(a+1)=f(b)-(f(a)-1)=1（f(a)=f(b)f(a)=f(b) を用いた）。u=f(x)f(y)u=f(x)f(y) に平行移動の恒等式を適用すると f(u+1)=f(u)−1=1−1=0f(u+1)=f(u)-1=1-1=0 となり、ステップ3の唯一の零点より u+1=1u+1=1、すなわち f(x)f(y)=0f(x)f(y)=0；再び唯一の零点より x=1x=1 または y=1y=1。x=1x=1 なら y=by=b で x+y=1+b=a+1x+y=1+b=a+1 より b=ab=a；y=1y=1 なら同様に a=ba=b。いずれにせよ a=ba=b となり、単射性が示された。