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第3問

猟師と姿の見えないウサギがユークリッド平面でゲームを行う。ウサギの出発点 A0A_0 と猟師の出発点 B0B_0 は同じ点である。ゲームを n−1n-1 ラウンド行った後、ウサギは An−1A_{n-1} に、猟師は Bn−1B_{n-1} にいる。第 nn ラウンドでは、次の三つがこの順に起こる。(i) ウサギは見えないまま、An−1A_{n-1} から AnA_n へ、距離がちょうど 11 となるように移動する（点 AnA_n に到着する）。(ii) 追跡装置は猟師に点 PnP_n を報告する。ただし、PnP_n と AnA_n の距離が高々 11 であることだけが保証される。(iii) 猟師は見える形で Bn−1B_{n-1} から BnB_n へ、距離がちょうど 11 となるように移動する（到着点は BnB_n である）。ウサギの動き方にも追跡装置が報告する点にもよらず、猟師が自分の動きを選んで、10910^9 ラウンド後に自分とウサギとの距離を 100100 以下にできることは常に可能か。
ステップ 4/9: 猟師は側を判別できない
前のステップ次のステップ
H∗∈r,∣HH∗∣=200,∣H∗R∣=200−dH^*\in r,\qquad |HH^*|=200,\qquad |H^*R|=200-d
詳しい解説

H∗H^* を、HH から RR の向きに 200200 進んだ rr 上の点とする。猟師が 200200 回の単位移動後に到達できる任意の点 QQ の rr への射影は、HH から RR へ向かう向きで H∗H^* より先にはない。d≥1d\ge1 であり、RR の先 200200 の点からの YiY_i の小さなずれは 1/4001/400 未満なので、二つの行き先はともに H∗H^* より先にある。二つの経路の報告は同じだから、猟師はどちらの場合も同じ道を進み、最終点 QQ は同じである。最終点 QQ が rr のどちら側にあっても、反対側の行き先までの距離は H∗YiH^*Y_i 以上である。QQ が rr 上なら、どちらの行き先もその下界を持つ。したがってウサギは最終距離を y:=H∗Y1=H∗Y2y:=H^*Y_1=H^*Y_2 以上にできる。