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第3問

猟師と姿の見えないウサギがユークリッド平面でゲームを行う。ウサギの出発点 A0A_0 と猟師の出発点 B0B_0 は同じ点である。ゲームを n−1n-1 ラウンド行った後、ウサギは An−1A_{n-1} に、猟師は Bn−1B_{n-1} にいる。第 nn ラウンドでは、次の三つがこの順に起こる。(i) ウサギは見えないまま、An−1A_{n-1} から AnA_n へ、距離がちょうど 11 となるように移動する（点 AnA_n に到着する）。(ii) 追跡装置は猟師に点 PnP_n を報告する。ただし、PnP_n と AnA_n の距離が高々 11 であることだけが保証される。(iii) 猟師は見える形で Bn−1B_{n-1} から BnB_n へ、距離がちょうど 11 となるように移動する（到着点は BnB_n である）。ウサギの動き方にも追跡装置が報告する点にもよらず、猟師が自分の動きを選んで、10910^9 ラウンド後に自分とウサギとの距離を 100100 以下にできることは常に可能か。
ステップ 5/9: 幾何的な下界を計算する
前のステップ次のステップ
y2=1+(d−ε)2,ε=ZR′,∣H∗R′∣=dy^2=1+(d-\varepsilon)^2,\qquad \varepsilon=ZR',\qquad |H^*R'|=d
詳しい解説

R′R' を rr 上で RR の先へ 200200 進んだ点とし、ZZ を Y1Y2Y_1Y_2 の中点とする。ε=ZR′\varepsilon=ZR' とおく。H∗H^* と R′R' はそれぞれ HH と RR から同じ向きに 200200 進んだ点なので、∣H∗R′∣=d|H^*R'|=d であり、さらに H∗Z=d−εH^*Z=d-\varepsilon である。ZY1ZY_1 は rr に垂直で長さ 11 だから、三平方の定理より y2=1+(d−ε)2y^2=1+(d-\varepsilon)^2 を得る。