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第3問

猟師と姿の見えないウサギがユークリッド平面でゲームを行う。ウサギの出発点 A0A_0 と猟師の出発点 B0B_0 は同じ点である。ゲームを n−1n-1 ラウンド行った後、ウサギは An−1A_{n-1} に、猟師は Bn−1B_{n-1} にいる。第 nn ラウンドでは、次の三つがこの順に起こる。(i) ウサギは見えないまま、An−1A_{n-1} から AnA_n へ、距離がちょうど 11 となるように移動する（点 AnA_n に到着する）。(ii) 追跡装置は猟師に点 PnP_n を報告する。ただし、PnP_n と AnA_n の距離が高々 11 であることだけが保証される。(iii) 猟師は見える形で Bn−1B_{n-1} から BnB_n へ、距離がちょうど 11 となるように移動する（到着点は BnB_n である）。ウサギの動き方にも追跡装置が報告する点にもよらず、猟師が自分の動きを選んで、10910^9 ラウンド後に自分とウサギとの距離を 100100 以下にできることは常に可能か。
ステップ 6/9: ずれを評価する
前のステップ次のステップ
ε=200−2002−1>1400,ε2+1=400ε\varepsilon=200-\sqrt{200^2-1}>\frac1{400},\qquad \varepsilon^2+1=400\varepsilon
詳しい解説

直角三角形 R′ZRR'ZR の斜辺は 200200、一つの辺は 11 なので、R′Z=ε=200−2002−1=1/(200+2002−1)>1/400R'Z=\varepsilon=200-\sqrt{200^2-1}=1/(200+\sqrt{200^2-1})>1/400 である。有理化すると ε2+1=400ε\varepsilon^2+1=400\varepsilon も得られる。