MathLabs

第3問

猟師と姿の見えないウサギがユークリッド平面でゲームを行う。ウサギの出発点 A0A_0 と猟師の出発点 B0B_0 は同じ点である。ゲームを n−1n-1 ラウンド行った後、ウサギは An−1A_{n-1} に、猟師は Bn−1B_{n-1} にいる。第 nn ラウンドでは、次の三つがこの順に起こる。(i) ウサギは見えないまま、An−1A_{n-1} から AnA_n へ、距離がちょうど 11 となるように移動する（点 AnA_n に到着する）。(ii) 追跡装置は猟師に点 PnP_n を報告する。ただし、PnP_n と AnA_n の距離が高々 11 であることだけが保証される。(iii) 猟師は見える形で Bn−1B_{n-1} から BnB_n へ、距離がちょうど 11 となるように移動する（到着点は BnB_n である）。ウサギの動き方にも追跡装置が報告する点にもよらず、猟師が自分の動きを選んで、10910^9 ラウンド後に自分とウサギとの距離を 100100 以下にできることは常に可能か。
ステップ 7/9: 各ブロックは距離の二乗を増やす
前のステップ次のステップ
y2=d2+ε(400−2d)>d2+12y^2=d^2+\varepsilon(400-2d)>d^2+\frac12
詳しい解説

ε2+1=400ε\varepsilon^2+1=400\varepsilon を y2=1+(d−ε)2y^2=1+(d-\varepsilon)^2 に代入すると y2=d2+ε(400−2d)y^2=d^2+\varepsilon(400-2d) となる。d≤100d\le100 なので 400−2d≥200400-2d\ge200、また ε>1/400\varepsilon>1/400 だから y2>d2+1/2y^2>d^2+1/2 である。したがって猟師の動きによらず、ウサギは区別できない二経路の一方を選び、200200 ラウンド後の距離の二乗を元より 1/21/2 だけ大きくできる。