MathLabs

第3問

猟師と姿の見えないウサギがユークリッド平面でゲームを行う。ウサギの出発点 A0A_0 と猟師の出発点 B0B_0 は同じ点である。ゲームを n−1n-1 ラウンド行った後、ウサギは An−1A_{n-1} に、猟師は Bn−1B_{n-1} にいる。第 nn ラウンドでは、次の三つがこの順に起こる。(i) ウサギは見えないまま、An−1A_{n-1} から AnA_n へ、距離がちょうど 11 となるように移動する（点 AnA_n に到着する）。(ii) 追跡装置は猟師に点 PnP_n を報告する。ただし、PnP_n と AnA_n の距離が高々 11 であることだけが保証される。(iii) 猟師は見える形で Bn−1B_{n-1} から BnB_n へ、距離がちょうど 11 となるように移動する（到着点は BnB_n である）。ウサギの動き方にも追跡装置が報告する点にもよらず、猟師が自分の動きを選んで、10910^9 ラウンド後に自分とウサギとの距離を 100100 以下にできることは常に可能か。
ステップ 8/9: 距離が100を超えるまで反復する
前のステップ次のステップ
m=20000,d2>1+m2=10001m=20000,\qquad d^2>1+\frac m2=10001
詳しい解説

d1≥1d_1\ge1 から始める。現在の距離が 100100 以下である限りブロック戦略を適用する。m=20000m=20000 ブロックを通じて距離が 100100 未満のままだと、前段階より d2>1+m/2=10001d^2>1+m/2=10001 となり矛盾する。したがってこれらのブロック中にウサギは距離を 100100 より大きくできる。